How to write a Mathematica program to compute curvature

Fast Maths Trick of Calculation

Fast Math Trick

Berhitung Cepat FPB KPK Kreatif APIQ - LCM GCD

Tutorial Tentang Matematika Gratis - Cara Cepat Menghitung Perkalian Dal...

Video trik matematika #1 : Perkalian cepat bilangan 2-digit dengan angka...

Judul pos

Sejarah Lahirnya Matematika

(Peranan Matematikawan Islam untuk Dunia)

Oleh : Bambang Hidayat

            Matematika pertama kali ditemukan di Mesopotamia dan Mesir Kuno, ini dibuktikan dengan adanya artefak atau dokumen mengenai matematika yang ditulis oleh juru tulis pada masa itu. Artefak yang ditemukan pada zaman Mesopotamia telah mampu menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia memiliki pengetahuan matematika yang luar biasa meskipun matematika mereka masih primitif (belum disusun secara deduktif seperti saat ini). Demikian halnya, artefak yang ditemukan di Mesir Kuno telah memberikan gambaran bahwa bangsa Mesir Kuno telah memiliki pengetahuan matematika yang berkembang pesat. Bangsa Mesir Kuno menyebut artefak tersebut dengan sebutan Papyrus Rhind (diedit pertama kali pada tahun 1877).

Definisi Pangkat Rasional

Di dalam Matematika ada beberapa struktur yang perlu kita kita ketahui, ialah aksioma (postulat), teorema (dalil), pengertian pangkal, dan definisi. Kali ini kita akan membahas mengenai definsi. Di dalam mendefinisikan suatu istilah, kadang kita  kurang lengkap dalam memberikan suatu batasan. Misal definisi persmaan kuadrat adalah "Persamaan yang berbentuk  . Kadang-kadang kita lupa memberi batasan bahwa .

Nilai Trigonometri dalam Kuadran

Matematika idetik dengan rumus, walaupun tidak semua matematika berkaitan dengan rumus. Materi trigonometri adalah materi yang terkenal sulit bagi siswa SMA, karena banyak sekali rumusnya. Dari pengalaman saya mengajar trigonometri, kadang kita lebih gampang tanpa menggunakan rumus dari pada menggunakan rumus. 

Menetukan Nilai Trigonometri Di Kuadran II, III, dan IV Tanpa Rumus

Seperti yang kita ketahui di buku-buku matematika SMA untuk menentukan nilai trigonomtri digunakan rumus tertentu, yang karena banyaknya kadang bikin anak bingung. Lalu bagaimana cara menentukan nilai trigonometri di kuadran II, III, dan IV tanpa menggunakan rumus?

• Tanamkan dahulu tanda positif/negatif di setiap kuadran. 
•  . r nilainya selalu positif, agar Sin A nilainya postif maka y harus positif. y positif berada pada daerah atas. Dengan demikian Sin A positif di kuadran I dan II
• . r nilainya selalu positif agar Cos A nilainya postif maka y harus positif. y positif berada pada daerah kanan. Dengan demikian Sin A positif di kuadran I dan IV
• . Supaya nilai Tan A positif maka y dan x positif (kuadran I) atau y dan x negatif (kuadran III). Dengan demikian Tan A positif di kuadran I dan III.
• Sudut di kuadaran II nilainya kurang dari 180^o.  Yang dihitung adalah "kurangnya" dari 180^o
• Sudut di kuadaran III nilainya lebih dari 180^o. Yang dihitung adalah "lebihnya" dari 180^o
• Sudut di kuadran IV nilainya kurang dari 360^o. Yang dihitung adalah "kurangnya" dari 360^o

Perhatikan contoh berikut:

Tentukan nilai dari:

1. Sin 150^o
2. Cos 240^o
3. Tan 315^o

Penyekesaian:

1. 150^o  berada pada kuadran II, maka tandanya positif dan kurangnya 30^o dari 180^o. Jadi Sin 150^o = Sin 30^o = 1/2
2. 240^o berada pada kuadran III, maka tandanya negatif dan lebihnya 60^o dari 180^o. Jadi Cos 240^o = -Cos 60^o = -1/2
3. Tan 315^o berada pada kuadran IV, maka tandanya positif dan kurangnya 45^o dari 360^o. Jadi Tan 315^o= - Tan 45^o = - 1     

Menerjemahkan Kata Atau, Dan, Bukan Pada Teori Peluang

Di dalam materi teori peluang kita sering menjumpai kata atau, dan , bukan. Kata-kata ini dapat kita terjemahkan ke dalam bahasa matematik sehingga soal yang mengandung salah satu kata tersebut dapat diselesaikan.

ATAU

Atau berarti gabungan, dengan rumus:

Bila A dan B saling lepas maka:

DAN

Dan berarti irisan dengan rumus:

  bila A dan B saling bebas

 bila A dan B tidak saling bebas

Namun perlu diingat tidak selamanya soal yang mengandung kata dan diselesaikan dengan rumus di atas.

Perhatikan soal berikut ini:

Sebuah dadu dilambungkan sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu prima dan genap!

BUKAN

Bukan berarti komplemen dengan rumus:

 

 

sumber :http://www.mathzone.web.id/2011/10/menerjemahkan-kata-atau-dan-bukan-pada.html

Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang memuat tanda akar, misal . Menyelesaikan persamaan irasional memerlukan kehati-hatian, bila tidak kita kadang merasa yakin benar, namun ternyata salah. Yang perlu diperhatikan adalah dalam hal memberi batasan (syarat), baik batasan di bawah tanda akar maupun batasan ketika mengkuadratkan kedua ruas.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1

Carilah semua x yang memenuhi 

Penyelesaian:
Syarat dibawah tanda akar adalah 
Syarat untuk mengkuadratkan kedua ruas harus postif atau 0 (tidak negatif). Ruas kiri memuat akar berarti nilainya selalu positif atau 0. Ruas kanan harus .
Kedua syarat ini kita interseksikan menjadi .
Kuadratkan kedua ruas, maka pertidaksamaan menjadi:




Jadi 
Karena syaratnya  maka .
Sampai di sini belum selesai. Coba perhatikan pertidaksamaan diatas! Ruas kiri yaitu nilainya selau positif, sehingga ruas kanan, yaitu x akan memenuhi pertidaksamaan bila nilainya negatif, sehingga  dan  (batasan dibawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan.   dan  ekuivalen  dengan  


Jadi penyelesaiannya adalah gabungan dari   dan .menjadi  

Contoh 2
Tentukan banyak penyelesaian bilangan bulat dari 

Penyelesaian:
 ekuivalen dengan
Syarat dibawah tanda akar adalah  atau 
Syarat mengkuadratkan adalah kedua ruas harus positif atau 0. Ruas kanan pasti positif atau nol. Ruas kiri  atau . Kedua syarat ini menjadi  .

Kuadratkan kedua ruas menjadi
x²- 6x + 9 < x - 1
x²- 6x + 9 - x + 1 < 0
x²-7x + 10 < 0
(x - 2)(x - 5) < 0
2 < x < 5
Jadi penyelesaiannya adalah 3 dan 4. Batasannya adalah . Jadi sudah sesuai.

Sekarang perhatikan pertidaksamaan di atas, yaitu   . Pada ruas kanan nilainya selalu positif atau nol, sehingga untuk ruas kiri negatif maka memenuhi pertidaksamaan, Dengan demikian   dan  (batasan di bawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan.    dan  ekuivalen dengan . Jadi 1 dan 2 juga merupakan penyelesaian pertidaksamaan. Jadi penyelesaiannya adalah, 1, 2, 3, dan 4. Banyak penyelesaian bilangan bulat sebanyak 4.

Menyelesaikan pertidaksamaan irasional harus memperhatikan batasan (syarat) yang perlu diberikan, yaitu batasan di bawah tanda akar dan batasan ketika mengkuadratkan. Kita sering melupakan mengenai batasan, sehingga penyelesaian suatu pertidaksamaan menjadi salah, walaupun sepertinya langkah-langkah penyelesaian tidak ada yang salah.
Sumber : http://www.mathzone.web.id/2011/12/menyelesaikan-pertidaksamaan-irasional.html

JANGAN ASAL MENGKUADRATKAN

Kemarin saya sudah menulis tentang pertidaksamaan irasional. Sebagian langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah mengkuadratkan kedua ruas. Yang perlu diperhatikan adalah jangan sampai lupa memberi batasan (syarat) ketika mengkuadratkan kedua ruas. Berikut ini saya menulis lagi mengenai pengkuadratan kedua ruas baik pada persamaan irasional maupun pertidaksamaan irasional. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1

Selesaikan persamaan !

Penyelesaian:

Sebelum mengkuadratkan kedua ruas, harus diperhatikan batasannya.

x + 6 >= 0 ekuivalen dengan x >= -6. 

Kuadratkan kedua ruas, maka persamaan menjadi

x + 6 = x²

x² - x - 6 = 0

(x + 2)(x -3) = 0

x = - 2 atau x = 3

Keduanya memenuhi syarat karena keduanya >= -6. Namun masih harus kita cek keduanya dengan cara substitisikan ke dalam persamaan.

Untuk x = -2 didapat

 

. Tidak memenuhi, karena nilai akar selalu tidak negatif.

Untuk x = 3 didapat

. Memenuhi. Jadi penyelesaiannya hanya 3.

Yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan irasional adalah menguji jawaban yang telah diperoleh.

Contoh 2

Selesaikan pertidaksamaan !

Penyelesaian:
Syarat di bawah tanda akar adalah x + 2 >= 0 ekuivalen dengan x >= -2
Syarat pengkuadratan adalah kedua ruas >= 0, ruas kanan pasti >= 0 (jadi tidak perlu diberi syarat). Ruas kiri x >= 0.
Kedua syarat, yaitu x >= -2 dan x >= 0 menjadi x >= 0

Kuadratkan kedua ruas, maka menjadi

x² > x + 2

x²- x - 2 > 0

(x + 1)(x - 2) > 0

x < -1 atau x > 2.

Karena syaratnya x >= 0 maka penyelesaiannya hanya x > 2.

Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah jangan asal mengkuadratkan kedua ruas persamaan atau pertidaksamaan irasional. Perlu diperhatikan adalah pemberian syarat-syarat yang diperlukan.
Sumber : http://www.mathzone.web.id/2011/12/jangan-asal-mengkuadratkan.html